El Autor de los Elementos

Su vida fue tan oscura que no hay asociado a su nombre ningún lugar de nacimiento. Aunque alguna ediciones de los "Elementos" dan como identidad del autor la de Euclides de Megara, y en las historias de la matemática aparece frecuentemente; se trata de un caso de confusión de identidad. El autentico Euclides de Megara era un discípulo de Socrates y , aunque solo se ocupo de la lógica, no se sentía mas atraído por la matemática que su maestro. Nuestro Euclides en cambio, es conocido como Euclides de Alejandría, debido a que fue llamado ahí por enseñar matemáticas

"Los Elementos" ha tenido más de 1.000 ediciones desde su primera publicación en imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más leído de la historia.

Esta obra es importante, no tanta por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematizan, el orden y la argumentación con la que está constituida. Euclides recopila, ordena y argumenta los conocimientos geométrico-matemáticos de su época, que ya eran muchos.

"Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que son de hecho de poca importancia si tenemos en cuenta la fecha en que se escribió, es y seguirá siendo sin duda, el más grande de los libros de matemáticas de todos los tiempos. (Heath)"

"Los Elementos" consta de trece libros sobre geometría y aritmética.

Libro I: Teoremas relativos a congruencias, rectas paralelas. 23 definiciones; 5 postulados; 9 nociones comunes; 48 proposiciones (las p.47 y 48 son el teorema de Pitágoras)
Libro II: Aritmética de la Escuela Pitagórica. 2 definiciones; 14 proposiciones.
Libro III: Círculos, cuerdas, .... 11 definiciones; 37 proposiciones.
Libro IV: Construcciones con regla y compás. 7 definiciones; 16 proposiciones.
Libro V: Teoría de la proporción. 18 definiciones; 25 proposiciones.
Libro VI: Estudio de figuras semejantes. 4 definiciones; 33 proposiciones.
Libro VII: Teoría de números; 22 definiciones; 39 proposiciones. (la p.I es el algoritmo de Euclides).
Libro VIII: Teoría de números; 27 proposiciones.
Libro IX: Teoría de números; 36 proposiciones; (p.XX "el conjunto de números primos es infinito").
Libro X: Magnitudes; 36 proposiciones; (Se establece el método de exhaución).
Libro XI: Geometría de sólidos y esfera; 39 proposiciones.
Libro XII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones.
Libro XIII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones.

                                                           Los Elementos de Euclides

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El método demostrativo de Euclides en los elementos dele click aquí

Números Primos y Perfectos

Números Primos 

El libro IX, ultimo de los tres libros, sobre teoría de números contiene varios teoremas que tienen un interés especial. entre ellos el mas celebrado es el que expresa la proporción 20: "Los números primos son mas que cualquier cantidad fijada de ante mano de números primos".

Es decir, Euclides de aquí la demostración elemental bien conocida de que el numero de primos es infinito.

La demostración es indirecta, pues lo que se demuestra es que la hipótesis de un numero finito de primos conduce a contradicción. 

Sea P el producto de todos los números primos, supuesto que solo hay una cantidad finita de ellos, y tomemos el numero N=P+1; ahora N no puede ser primo porque ello estaría en contradicción con la hipótesis de que P era el producto de todos los números primos, luego N es compuesto y debe ser medido por algún primo p; pero p no puede ser ninguno de los factores primos de P porque entonces tendría que ser factor de 1; luego p tiene que ser un primo distinto de todos los que aparecen multiplicados en P, y así la hipótesis de que P era el producto de todos lo primos tiene que ser falsa.

Números Perfectos

El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula 2^n–1(2ⁿ – 1).

n = 2: 2¹ × (22 – 1) = 6

n = 3: 2² × (23 – 1) = 28

n = 5: 2⁴ × (25 – 1) = 496

n = 7: 2⁶ × (27 – 1) = 8128

Al darse cuenta de que 2ⁿ – 1 es un numero primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula:  2^n–1(2ⁿ – 1) genera un número perfecto par siempre que 2ⁿ – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran: 

El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente. 

Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8. 

El quinto número perfecto (33 550 336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8 589 869 056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)

Postulados de Euclides

Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides, que ofrecemos a continuación, son:

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

IV.- Todos los ángulos rectos son iguales. 

V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así:

V-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las geometría no euclidiana

Nociones Comunes:

1. Cosas que son iguales a la misma cosa son iguales.

2. Si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales.

3.Si son iguales se restan de iguales, los restos son iguales.

4. Cosas que coinciden una con otra son iguales entre si.

5. El todo es mayor que la parte.

                                                               Postulados de Euclides

Quinto Postulado de Euclides

Finalidad de los Elementos

La Universidad de Alejandría no era probablemente muy distinta de las instituciones modernas de enseñanza superior. Algunos de los miembros de la facultad sobresalían en la investigación, otros se adaptarían mejor a tareas administrativas y otros aun destacarían por su capacidad pedagógica. Según parece por las referencias que tenemos, Euclides pertenecía de manera muy definida a estas ultima categoría, no hay ningún descubrimientos nuevo que se le atribuya a el directamente, pero si destaco por su habilidad expositiva. Esa es la clase del éxito de su obra mas importante, Los Elementos.

Pese al escaso conocimiento que poseemos del período clásico, cabe señalar las principales fuentes del material contenido en ellos: aparte de los discípulos de Platón con quienes estudió Euclides, y a quienes debe mucho, sin duda, Proclo afirma que introdujo en sus Elementos muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó teoremas de Teeteto y proporcionó demostraciones irrefutables de muchos resultados insuficientemente demostrados por sus predecesores.

la tersura y rigor de las demostraciones, muchas de ellas suyas, sin duda. Su forma de presentar éstas, sin embargo, había sido ya empleada por Autólico y seguramente por otros de sus predecesores. Independientemente de la cuestión de cuánto haya de original en sus Elementos y cuánto pudo haber recogido de textos anteriores u otras fuentes, Euclides fue sin duda un gran matemático, como lo prueban sus otros escritos. Proclo señala que los Elementos eran muy apreciados en Grecia, e indica como prueba el gran número de comentarios a que habían dado lugar; entre los más importantes cabe citar los de Herón (c. 100 a..C.-c. 100 d. C.), Porfirio (siglo III) y Pappus (finales del mismo siglo). Presumiblemente su calidad les permitió reemplazar a los libros que sobre el mismo asunto se cree que escribieron Hipócrates de Chíos y los platónicos León y Teudio.

En griego ha llegado hasta nosotros el Comentario al Libro I de los Elementos de Euclides realizada por Teón de Alejandría que aborda numerosos aspectos tanto de la obra como de su contexto histórico y que se cree fueron escritos con la ayuda de su hija Hipatia que murió violentamente víctima del fanatismo religioso en el año 415.

La aproximación que Teón hace parece tratar de mejorar el primer manuscrito en lugar de reproducirlo fielmente con comentarios. Teón también trató de estandarizar la manera en que Euclides escribe, reemplazando distintas expresiones por su forma estándar. Por suerte, la obra de Teón fue copiada frecuentemente, tanto al árabe como al latín. Así, se conserva el Códice Bodleian copieado por Esteban, el secretario del arzobispo de Cesarea Arethas de Patras, en Constantinopla en 888 d.C.

Las primeras ediciones. Las traducciones a las lenguas vernáculas:

En 1505 el humanista veneciano Zamberti traduce directamente sobre manuscritos griegos la obra de Teón, publicando una edición monumental de los trabajos de Euclides bajo el título: Euclidis Megarensis philosophi platonici mathemticorum disciplinarum janitoris; habent in hoc volumine: elementorum libri XIII, cum expositione Theonis etc., etc. Battholo Zamberti interprete, Venetus, 1505, in-fol. Edición post - incunable conservada en la biblioteca municipal de Amberes. Esta obra sería reeditada en París, en 1516, después en Basilea, en 1546, conteniendo otras obras de un autor (Euclides de Megara), discípulo de Sócrates y amigo de Platón que se pensaba eran la misma persona.

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Los Inconmensurables

El libro X de los Elementos emprende la tarea de clasificar en tipos los irracionales, es decir, las magnitudes inconmensurables con una magnitud dada. Augustus de Morgan describió el contenido general de este libro así: Euclides investigo cada posible segmento cuya longitud pueda expresarse (con álgebra moderna) en la forma:

Siendo a y b las longitudes de dos segmentos conmensurables”. Claro está que no todos los irracionales pueden representarse así, y Euclides trata solo los que surgen en su álgebra geométrica.

La primera proposición del libro X es importante para posteriores apartados de los Elementos.

• Proposición 1. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad, y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad, repitiendo este proceso quedara en algún momento una magnitud menor que la más pequeña de las dos magnitudes dadas.

• Las proposiciones  2 y 3 reproducen, duplicándolas para magnitudes geométricas, las dos primeras proposiciones del Libro VII que se referían a números enteros. Aquí se demuestra Euclides que si aplica a dos segmentos distintos el proceso que hemos descrito antes como algoritmo de Euclides, y si el resto nunca mide al resto anterior, entonces las magnitudes son inconmensurables.

•La proporción 3 demuestra que cuando se aplica el algoritmo en cuestión a dos magnitudes conmensurables, dará como resultado la mayor posible medida común de los dos segmentos.

Al final de la demostración Euclides afirma que el teorema se puede probar igualmente si las partes sustraídas son mitades. Al principio utiliza un axioma, no reconocido como tal por Euclides, que le posibilita sumar consigo misma un  número finito de veces  la menor de dos magnitudes hasta obtener una suma que exceda a la mayor. Su argumentación se apoya en la definición de razón entre dos magnitudes, pera esa definición no justifica el paso en cuestión, ya que si solo puede hablar de razón entre dos magnitudes cuando cada una de ellas se puede multiplicar hasta superar a la otra, Euclides debería probar que entre esas dos magnitudes existe razón, en lugar de suponerlo implícitamente. Según Arquímedes, tal axioma había sido utilizado ya  por  Eudoxo,  que  lo  había  establecido  como  lema.  Arquímedes  lo  emplea  sin  prueba, tomándolo de hecho por un axioma, que hoy recibe el nombre de ambos: Arquimedes-Eudoxo. Hay  115  proposiciones  en  este  libro  X,  aunque  en  algunas  ediciones  aparecen  unas proposiciones 116 y 117, la última de las cuales establece la irracionalidad de √2.

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