El libro IX, ultimo de los tres libros, sobre teoría de números contiene varios teoremas que tienen un interés especial. entre ellos el mas celebrado es el que expresa la proporción 20: "Los números primos son mas que cualquier cantidad fijada de ante mano de números primos".
Es decir, Euclides de aquí la demostración elemental bien conocida de que el numero de primos es infinito.
La demostración es indirecta, pues lo que se demuestra es que la hipótesis de un numero finito de primos conduce a contradicción.
Sea P el producto de todos los números primos, supuesto que solo hay una cantidad finita de ellos, y tomemos el numero N=P+1; ahora N no puede ser primo porque ello estaría en contradicción con la hipótesis de que P era el producto de todos los números primos, luego N es compuesto y debe ser medido por algún primo p; pero p no puede ser ninguno de los factores primos de P porque entonces tendría que ser factor de 1; luego p tiene que ser un primo distinto de todos los que aparecen multiplicados en P, y así la hipótesis de que P era el producto de todos lo primos tiene que ser falsa.
Números Perfectos
El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula 2n–1(2n – 1).
n
= 2: 21 × (22 – 1) = 6
n = 3: 22 × (23 – 1) = 28
n = 5: 24 × (25 – 1) = 496
n = 7: 26 × (27 – 1) = 8128
n = 3: 22 × (23 – 1) = 28
n = 5: 24 × (25 – 1) = 496
n = 7: 26 × (27 – 1) = 8128
Al darse cuenta de que 2n – 1 es un numero primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula: 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.
Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:
El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.
El quinto número perfecto (33 550 336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8 589 869 056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)
Muy bien argumentado su contenido... Espero le pueda seguir dando continuidad a sus publicaciones después de finalizada la asignatura de tecnologia
ResponderBorrarMuy buen Blog y excelentes graficas y diseños, se ve que a invertido mucho tiempo para realizar este trabajo...! Felicidades...!
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