Teoría de las Proporciones

Los Libros mas admirados de los trece que componen los Elementos han sido el quinto y el décimo, el primero de ellos sobre la teoría general de proporciones y el segundo sobre la clasificación de los inconmensurables.

El descubrimiento de los inconmensurables había provocado una crisis lógica que arrojaba graves dudas sobres las demostraciones que recurrían a la idea de proporcionalidad, pero la crisis había sido evitada con éxito por medio de los principios enunciados por Eudoxo.

La noción de magnitud que presenta Euclides pretende cubrir cantidades o entidades  que pueden ser conmensurables o inconmensurables entre sí: longitudes, áreas, volúmenes, ángulos, pesos, tiempo... La longitud y el área han aparecido ya, por ejemplo en el libro II. Pero  hasta ahora no ha tenido ocasión Euclides de tratar con otros tipos de magnitudes ni tampoco  con sus razones mutuas o proporciones, por lo que solo ahora introduce el concepto general de magnitud, poniendo el énfasis en las proporciones para cualquier tipo de magnitudes.

La noción de magnitud que presenta Euclides pretende cubrir cantidades o entidades  que pueden ser conmensurables o inconmensurables entre sí: longitudes, áreas, volúmenes, ángulos, pesos, tiempo... La longitud y el área han aparecido ya, por ejemplo en el libro II. Pero  hasta ahora no ha tenido ocasión Euclides de tratar con otros tipos de magnitudes ni tampoco  con sus razones mutuas o proporciones, por lo que solo ahora introduce el concepto general de magnitud, poniendo el énfasis en las proporciones para cualquier tipo de magnitudes.

Pese a la importancia que las definiciones tienen en este libro, no hay en él una definición de magnitud como tal.

• Definición 1. Una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide. Parte significa aquí submúltiplo, como 2 lo es de 6, mientras que 4 no es submúltiplo de 6.

• Definición 2. Lo mayor es múltiplo de lo menor cuando es medido por lo menor, Múltiplo significa por tanto múltiplo entero.

• Definición 3. Una razón es una relación entre dos magnitudes del mismo tipo con respecto a su tamaño.

• Definición 4. Se dice que hay razón entre dos magnitudes cuando se puede multiplicar cada una de ellas de manera que exceda a la otra.

Lo que significa que hay razón entre a y b si algún múltiplo entero (incluyendo 1) de a es mayor que b y algún múltiplo entero de b (incluyendo 1) es mayor que a. Esta definición excluye un concepto que apareció más tarde, el de una cantidad infinitamente pequeña y no nula, a la que se llamo infinitésimo; no cabe razón entre dos magnitudes si una de ellas es tan pequeña que ninguno de sus múltiplos enteros excede a la otra. También excluye magnitudes infinitamente grandes, a las que no superaría ningún múltiplo entero de la cantidad menor.

• Definición 5. Se dice que ciertas magnitudes están en la misma razón, la primera con la segunda y la tercera con la cuarta, cuando al tomar cualquier equimultiplo de la primera y la tercera, y cualquier equimultiplo de la segunda y la cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda según que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta.

 • Definición 6. Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcionales.

 • Definición 7. Si entre los múltiplos de unas magnitudes el de la primera excede al de la segunda pero el de la tercera no excede al de la cuarta, se dice que la razón entre la primera y la segunda es mayor que la razón entre la tercera y la cuarta.

 Esta definición establece que si para algunos m y n, ma>nb pero mc no es mayor que nd, entonces a/b>c/d. Así, dada una razón entre inconmensurables a/b, se la puede situar entre otras mayores y menores que ella.

 • Definición 8. Una proporción tiene al menos tres términos. En ese caso a/b=b/c.

 • Definición 9. Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la razón entre la primera y la tercera duplica la razón entre la primera y la segunda.

De modo que si A/B=B/C, la razón entre A y C duplica la razón entre A y B, es decir A/C=A2/B2, ya que  A=B2/C y A/C=B2/C2=A2/B2.

 • Definición 10. Cuando cuatro magnitudes son continuamente proporcionales, se dice que la razón entre la primera y la cuarta triplica la razón entre la primera y la segunda, y así sucesivamente, sea cual fuere la proporción.

O sea  que si A/B=B/C=C/D, razón entre A y D triplica la razón entre A y B, es decir A/D=A3/B3, ya que  A=B2/C y A/D=B2/CD=(B2/C2)(C/D)= A3/B3.

• Definiciones  11  a  18.  Estas  atañen  a  magnitudes  correspondientes,  alternancia, inversión, composición, separación, conversión, etc., refiriéndose a la formación de (a+b)/b, (a- b)/b y otras razones a partir de a/b.

El libro V prosigue con la demostración de veinticinco teoremas sobre magnitudes y razones entre magnitudes. Las pruebas son verbales y solo dependen de las definiciones precedentes y de las nociones comunes a axiomas, tales como que al restar cosas iguales de cosas iguales se obtienen cosas iguales; no usa los postulados. Euclides emplea segmentos como ejemplos de magnitudes para ayudar al lector a comprender el significado de los teoremas  y sus pruebas, pero aquellos se aplican a toda clase de magnitudes.

Reproduciremos algunas de las proposiciones del libro V en lenguaje algebraico moderno, utilizando las letras m, n y p para los enteros y a, b y c para las magnitudes. No obstante, para hacerse idea del lenguaje de Euclides, veamos su primera proposición:

       • Proposición 1. Dado cualquier numero de magnitudes, sean cuales fueren, equimúltiplos de otras magnitudes en igual número, cualesquiera que fueren las veces que una de ellas sea múltiplo de alguna, ese múltiplo será de todas.

Lo que significa, en lenguaje algebraico, que ma+mb+mc+...=m(a+b+c+...).

• Proposición 4. Si a/b=c/d, entonces ma/nb=mc/nd.

• Proposición 11. Si a/b=c/d y c/d=e/f, entonces a/b=e/f.

Se puede observar como la igualdad entre razones depende de la definición de proporción, y Euclides pone buen cuidado en probar que la igualdad es transitiva.

• Proposición 12. Si a/b=c/d=e/f, entonces a/b=(a+c+e)/(b+d+f).

• Proposición 17. Si a/b=c/d, entonces (a-b)/b=(c-d)/d.

• Proposición 18. Si a/b=c/d, entonces (a+b)/b=(c+d)/d.

Algunas de estas proposiciones parecen duplicar otras del libro II. Recordemos, sin embargo, que las proposiciones de este último se referían únicamente a segmentos de recta, mientras que el libro V proporciona la teoría para toda clase de magnitudes.

El libro V fue crucial para la subsiguiente historia de las matemáticas. Los griegos clásicos no admitían números irracionales e intentaron evitarlos mediante artificios geométricos.

 Sin embargo, este uso de la geometría no tenía en cuenta las razones y proporciones de magnitudes inconmensurables de cualquier tipo, y el libro V, que inicio una nueva teoría general de las magnitudes, vino a colmar esa laguna proporcionando una base firme a todo lo que él la geometría griega tuviera que ver con ellas. La cuestión clave, no obstante, es si la teoría de magnitudes servia como fundamento lógico para una teoría de los números reales que incluyera, naturalmente, a los irracionales.

Esta fuera de toda duda como interpretaron a Euclides las sucesivas generaciones de matemáticos, que consideraron su teoría de las magnitudes aplicable solo a la geometría, adoptando así la actitud de que solo la geometría era rigurosa. Cuando se reintrodujeron los números  irracionales  a  partir  del  Renacimiento,  muchos  matemáticos  objetaron  que  tales números carecían de cualquier fundamento lógico.