Los Inconmensurables

El libro X de los Elementos emprende la tarea de clasificar en tipos los irracionales, es decir, las magnitudes inconmensurables con una magnitud dada. Augustus de Morgan describió el contenido general de este libro así: Euclides investigo cada posible segmento cuya longitud pueda expresarse (con álgebra moderna) en la forma:

Siendo a y b las longitudes de dos segmentos conmensurables”. Claro está que no todos los irracionales pueden representarse así, y Euclides trata solo los que surgen en su álgebra geométrica.

La primera proposición del libro X es importante para posteriores apartados de los Elementos.

• Proposición 1. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad, y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad, repitiendo este proceso quedara en algún momento una magnitud menor que la más pequeña de las dos magnitudes dadas.

• Las proposiciones  2 y 3 reproducen, duplicándolas para magnitudes geométricas, las dos primeras proposiciones del Libro VII que se referían a números enteros. Aquí se demuestra Euclides que si aplica a dos segmentos distintos el proceso que hemos descrito antes como algoritmo de Euclides, y si el resto nunca mide al resto anterior, entonces las magnitudes son inconmensurables.

•La proporción 3 demuestra que cuando se aplica el algoritmo en cuestión a dos magnitudes conmensurables, dará como resultado la mayor posible medida común de los dos segmentos.

Al final de la demostración Euclides afirma que el teorema se puede probar igualmente si las partes sustraídas son mitades. Al principio utiliza un axioma, no reconocido como tal por Euclides, que le posibilita sumar consigo misma un  número finito de veces  la menor de dos magnitudes hasta obtener una suma que exceda a la mayor. Su argumentación se apoya en la definición de razón entre dos magnitudes, pera esa definición no justifica el paso en cuestión, ya que si solo puede hablar de razón entre dos magnitudes cuando cada una de ellas se puede multiplicar hasta superar a la otra, Euclides debería probar que entre esas dos magnitudes existe razón, en lugar de suponerlo implícitamente. Según Arquímedes, tal axioma había sido utilizado ya  por  Eudoxo,  que  lo  había  establecido  como  lema.  Arquímedes  lo  emplea  sin  prueba, tomándolo de hecho por un axioma, que hoy recibe el nombre de ambos: Arquimedes-Eudoxo. Hay  115  proposiciones  en  este  libro  X,  aunque  en  algunas  ediciones  aparecen  unas proposiciones 116 y 117, la última de las cuales establece la irracionalidad de √2.

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